Ngữ pháp của quan hệ thuộc về
Khác với các cặp có thứ tự $(a, b)$ hay các bộ $n$-phần tử nơi vị trí đóng vai trò then chốt, một tập hợp $\{a, b\}$ được xác định hoàn toàn dựa trên các phần tử của nó. Do đó, $\{a, b\} = \{b, a\}$. Sự bất chấp thứ tự này giúp chúng ta tập trung vào sự bản chất thuộc về.
Một phép bao hàm $A \subseteq B$ ngụ ý rằng mọi phần tử của $A$ đều nằm trong $B$. Tuy nhiên, một tập con thực sự $A \subset B$ yêu cầu nhiều hơn: $B$ phải chứa ít nhất một phần tử mà không phải là không phải trong $A$.
Tập hợp lũy thừa $\mathcal{P}(S)$ là tập hợp tất cả các tập con khả dĩ của $S$. Nếu $|S| = n$, thì $|\mathcal{P}(S)| = 2^n$, phản ánh quy mô mũ của các khả năng cơ bản.
Cầu nối logic: Cơ chế tập hợp
Các phép toán tập hợp là biểu hiện vật lý của những suy nghĩ logic:
- Hợp ($A \cup B$): Logic HOẶC. Các phần tử thuộc về $A$ hoặc $B$.
- Giao ($A \cap B$): Logic VÀ. Các phần tử thuộc về cả $A$ và $B$.
- Các tập hợp rời nhau ($A \cap B = \emptyset$): Các điều kiện logic loại trừ lẫn nhau.
Ví dụ minh họa: Cơ sở dữ liệu sinh viên
Xét một cơ sở dữ liệu $D_1 = \{\text{Garth, Erin, Marty}\}$. Chúng ta xác định hai mệnh đề:
- Tập $A$: Sinh viên cao hơn 5'10" $\to \{\text{Garth, Marty}\}$.
- Tập $B$: Sinh viên có tên kết thúc bằng 'y' $\to \{\text{Marty}\}$.
Tập hợp Giao $A \cap B$ cho ra $\{\text{Marty}\}$. Điều này minh họa cách phép "VÀ" logic lọc dân số dựa trên tiêu chí trùng lặp. Marty là học sinh duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện: cao và tên kết thúc bằng 'y'.
$x \in A \cap B \iff (x \in A) \land (x \in B)$